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1 矩阵的几个概念
1.1 特殊矩阵
1.1.1 数量矩阵
主对角线上元素是同一个数,其余元素全为0的n级矩阵 1.1.2 对角矩阵(diagonal matrix)主对角线元素之外全为0的方阵 记作diag{d1,d2,……dn} 1.1.3 基本矩阵只有一个元素是1,其余元素全为0的矩阵 (i,j)元为1的基本矩阵:Eij 用Eij左乘(右乘)一个矩阵A,就相当于把A的第j行搬到第i行(第i列搬到第j列),而其余元素变为0 【左行右列】 1.1.4 初等矩阵由单位矩阵经过一次初等行/列变换得到的矩阵 用初等矩阵左乘(右乘)一个矩阵,相当于对这个矩阵做相应的初等行(列)变换【左行右列】 1.1.5 单位矩阵 如果AB=BA,那么A,B可交换 一般来说, Row Echelon Form 行阶梯矩阵 Reduced Row Echelon Form 简化行阶梯矩阵 ![]() 初等行变换不改变列之间的线性关系 span——向量张成的空间 因为初等行变换之后,行相当于是等价的,原来能线性表出哪些向量,现在还能;而列就不一样了。 4 矩阵向量乘法矩阵相当于一个线性系统 对于一个多元线性方程组如下图,输入为x=[x1 x2 x3...xn],经过一个线性变换后,输出为b=[b1 b2 x3...bm],这个线性系统便是对x做了一个线性的处理,其处理的方法为矩阵A
![]() ![]() 矩阵的乘法相当于两个线性函数的组合 虽然使用交换律对矩阵相乘的结果没有什么影响,但是对于运算的次数,先进行分析,再视情况适当交换运算顺序会带来很大的效益 (三个矩阵相乘的规则是按顺序两两相乘,因此运算次数是加的关系,不同结合情况对运算次数显然有不同影响)。 矩阵 A(M*N) 和矩阵B(N*P)相乘,A的每一行要和B的每一列进行内积(也就是进行N次乘法+N次求和), —>然后A和B分别由M行和P列,相当于一共M*P对行列对 —>所以这两个矩阵相乘,相当于M*N*P次操作 回到这个问题,如果是先CP,再A和乘积相乘,那么CP需要M*N*P次操作,10^6数量级;然后A在和结果相乘K*M*P,又是10^6数量级 如果是先AC,那么是K*M*N,1000的数量级;然后结果再和P相乘K*N*P ,1000的数量级 5.2 GPU的加速效果如果AB=I,AC=I,那么B=C 证明:B=B(AC)=(BA)C=C 6.3 矩阵乘积的逆说白了就是方阵满秩 换言之,如果一个矩阵A是可逆的,当且仅当A的简化阶梯矩阵是单位矩阵 单射:每个v射向不同的f(v),但不一定每个f(v)都会被射到 如果是矮胖型的矩阵,那么列之间肯定线性相关,那么对于某一个特定的 f(v) ,会存在两个不同的v1和v2,使得f(v1)=f(v),f(v2)=f(v),不满足单射(每个v射向不同的f(v)的条件 而单射的逆呢?因为不一定每个f都被映射到,所以单射的逆不能保证也是单射(可能会由在域空间上的值不在定义域空间内) 为了保证one to one ,也就是每个v,f(v)的值不同,我们需要矩阵A各个列线性无关 6.6.2 满射(onto)满射是值每个值域空间的点都会被映射到(虽然可能多个v射到一个值域上去) 也就是说,对于任意一个b,Av=b都有解, 按照前面的说法(“线性方程有解的充要条件”),矩阵A的简化阶梯矩阵不能有0行(也就是说,它不能是高瘦型矩阵);同时它的秩等于它的行数 满射的逆甚至可能不是映射(一个值域上的值可能对应了几个定义域上的值) 6.6.3 矩阵可逆的条件所以如果一个矩阵可逆,那么它必须同时是单射和满射
![]() 伴随矩阵C的每个元素是A对应的代数余子式 证明 矩阵的行列式=某一行元素*其代数余子式的和 Σ第i行元素*第j行元素的代数余子式=0 |
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